Question

已知无穷等差数列{a_n}，首项a₁=3，公差d=-5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b_n}
（1）求b₁和b₂；
（2）求{b_n}的通项公式；
（3）{b_n}中的第110项是{a_n}中的第几项？

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出等差数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=8-5n，令取出项为m，则需满足m=4n+3，由此能求出b₁，b₂．
（2）由题设条件推导出{b_n}也为等差数列，且首项为d₁=-27，公差为d′=-20，由此能求出b_n．
（3）由m=4（n-1）+3，n∈N^*，能求出{b_n}中的第110项是{a_n}中的第439项．

解答： 解：（1）由题意，等差数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=8-5n，
令取出项为m，则需满足m=4（n-1）+3，n∈N^*
∴b₁=a₃=8-5×3=-7，
b₂=a₇=8-5×7=-27．
（2）∵取出的序号成等差数列，
∴所对应的项组成的新数列{b_n}也为等差数列，且首项为d₁=-7，公差为d′=-20，
∴b_n=b₁+（n-1）d′
=-7+（n-1）×（-20）=13-20n．
（3）∵m=4（n-1）+3，n∈N^*
∴当n=110时，
m=4×109+3=439项，
∴{b_n}中的第110项是{a_n}中的第439项．

点评：本题考查等差数列的通项公式的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．