Question

2．若对任意x₁，x₂∈（0，1]，且x₁≠x₂，都有|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}}$|≤4，则称y=f（x）为“以4为界的类斜率函数”．
（Ⅰ）试判断y=$\frac{4}{x}$是否为“以4为界的类斜率函数”；

（Ⅱ）若a＜0，且函数f（x）=x-1-alnx（a∈R）为“以4为界的类斜率函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用“以4为界的类斜率函数”的定义，判断给出的区间内|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}}$|≤4是否成立即可．
（II）根据f（x）的单调性得出去绝对值号化为：x₂+alnx₂+$\frac{4}{{x}_{2}}$≤x₁+alnx₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$．g（x）=x+alnx+$\frac{4}{x}$为减函数，令h′（x）≤0恒成立，分离参数得a≤$\frac{4}{x}$-x，令h（x）=$\frac{4}{x}$-x，可得：函数h（x）在区间（0，1]上为减函数．求出h（x）的最小值即可得出a的范围．

解答 解：（I）对任意x₁，x₂∈（0，1]，且x₁≠x₂，都有|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}}$|=$|\frac{\frac{4}{{x}_{1}}-\frac{4}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}|$=$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜4，
∴y=$\frac{4}{x}$是“以4为界的类斜率函数”．
（II）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$，
∵1≥x＞0，a＜0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在区间（0，1]上为增函数．
设0＜x₁＜x₂≤1，
∵函数f（x）是为“以4为界的类斜率函数”，
∴a＜0时，|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}}$|=$|\frac{{x}_{1}-1-aln{x}_{1}-（{x}_{2}-1-aln{x}_{2}）}{\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}}|$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}-a（ln{x}_{1}-ln{x}_{2}）}{\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}}$≤4，
化为：x₂+alnx₂+$\frac{4}{{x}_{2}}$≤x₁+alnx₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$．
令g（x）=x+alnx+$\frac{4}{x}$，则g（x）在区间（0，1]上为减函数．
∴g′（x）=1+$\frac{a}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$≤0在区间（0，1]上恒成立，
∴a≤$\frac{4}{x}$-x，
令h（x）=$\frac{4}{x}$-x，可得：函数h（x）在区间（0，1]上为减函数．
∴x=1时，h（x）取得最小值h（1）=3．
∴a≤3．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造函数方法、不等式的性质、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于难题．