Question

10．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，g（x）=3a²lnx．
（I）当a=e时，函数h（x）=f（x）-g（x）在[1，t）内无极值，求t的范围；
（Ⅱ）若a＜0时，函数y=f（x）和y=g（x）的图象在某点处有相同的切线，且不等式f（x）≥kx+b≥g（x）对于任意的正实数x都成立，试求常数k、b．

Answer 1

分析 （I）求出函数的导数，从而求出t的范围即可；
（Ⅱ）分别求出f（x）和g（x）的导数，求出a的值，从而求出k的值，求出切线方程，结合函数的单调性证明即可．

解答 解：（I）当a=e时，h（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ex-3e²lnx（x＞0），
h′（x）=x+2e-$\frac{3{e}^{2}}{x}$=$\frac{（x+3e）（x-e）}{x}$，
∴x=e是极值点，则t∈（1，e）；
（Ⅱ）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，∴f′（x）=x+2a，
∵g（x）=3a²lnx，∴g′（x）=$\frac{3{a}^{2}}{x}$，
令x+2a=$\frac{3{a}^{2}}{x}$，∴（x+3a）（x-a）=0，
∴x=-3a或x=a（舍）时导数相等，
由a＜0时，f（-3a）=g（-3a）?$\frac{1}{2}$（-3a）²+2（-3a）²=3（-3a）²ln（-3a）⇒a=-$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$，
f′（-3a）=g′（-3a）=-a=$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$=k，
f（-3a）=$\frac{1}{2}$a²+2a²=$\frac{5}{2}{e}^{\frac{5}{3}}$，
切点是（-$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$，$\frac{5}{2}{e}^{\frac{5}{3}}$），切线是y=$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$x+$\frac{47}{18}$${e}^{\frac{5}{3}}$
令F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$x+$\frac{47}{18}$${e}^{\frac{5}{3}}$，
F′（x）=x-${e}^{\frac{5}{6}}$，
∴x∈（${e}^{\frac{5}{6}}$，+∞）时，F（x）单调递增，x∈（0，${e}^{\frac{5}{6}}$）时，F（x）单调递减，
∴F（x）≥F（${e}^{\frac{5}{6}}$）═0，
∴f（x）≥$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$x+$\frac{47}{18}$${e}^{\frac{5}{3}}$恒成立．
同理$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$x+$\frac{47}{18}$${e}^{\frac{5}{3}}$≥g（x）恒成立．
∴k=$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{5}{6}}$，b=$\frac{47}{18}$${e}^{\frac{5}{3}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及曲线的切线方程问题，构造函数利用函数的最值证明不等式是关键，是一道中档题．