Question

2．已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a≤2，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x-1|≥1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出各个区间的解集，取并集即可；（2）令F（x）=f（x）+|x-1|，求出F（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）当f（x）=|x-1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+3，x＜1}\\{1，1≤x≤2}\\{2x-3，x＞2}\end{array}\right.$，而f（x）≥2，
解得$x≤\frac{1}{2}$或$x≥\frac{5}{2}$．…（5分）
（2）令F（x）=f（x）+|x-1|，则F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2+a，x＜1}\\{x-2+a，1≤x＜a}\\{3x-2-a，x≥a}\end{array}\right.$，
所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a-1，
只需a-1≥1，解得a≥2，
所以实数a的取值范围是[2，+∞）．…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．