Question

已知函数f(x)＝xlnx－x².
(1)当a＝1时，函数y＝f(x)有几个极值点？
(2)是否存在实数a，使函数f(x)＝xlnx－x²有两个极值？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）0个极值点   （2）(0,1)

解：(1)当a＝1时，f(x)＝xlnx－x²，f′(x)＝lnx＋1－x.
由于极值点的导数值等于0，故要研究函数g(x)＝f′(x)＝lnx＋1－x的零点的情况．
g′(x)＝－1，
当x∈(0,1)时，g′(x)＝－1>0；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝－1<0.
∴g(x)＝lnx＋1－x在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴g(x)_max＝g(1)＝ln1＋1－1＝0，即f′(x)≤0.
故f′(x)＝lnx＋1－x只有一个零点x＝1，且在x＝1两侧都有f′(x)<0，故x＝1不是极值点．
∴函数y＝f(x)有0个极值点．
(2)f′(x)＝lnx＋1－ax，
函数f(x)＝xlnx－x²有两个极值?方程f′(x)＝lnx＋1－ax＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根，且每一根两侧的导数f′(x)值异号?直线y＝a与曲线h(x)＝有两个交点．
h′(x)＝，当x∈(0,1)时，h′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，
∴h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0，且当x→＋∞时，h(x)→0.
∴当x＝1时，h(x)_max＝1，其图象大致是：

由图可知a的取值范围是(0,1)．