Question

已知函数f（x）=a-

2

|x|

．
（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）解不等式f（x）＞a+x-3．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）化简后利用定义法证明单调性；
（2）代入f（x）化简不等式，注意讨论．

解答： 解：（1）证明：当x＞0时，f(x)=a-

2

x

，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则
f(x1)-f(x2)=

2

x2

-

2

x1

=

2(x1-x2)

x1x2

，
∵x₁＞0，x₂＞0且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0；
∴

2(x1-x2)

x1x2

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0；
∴函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）原不等式等价于：

2

|x|

+x-3＜0，
①当x＞0时，x²-3x+2＜0，
解得：1＜x＜2；
②当x＜0时，

2

-x

+x-3＜0，
∵x＜0，∴-x＞0，∴2-x²+3x＜0，
解得：x＞

3+ 17

2

或x＜

3- 17

2

，
∴x＜

3- 17

2

．
综上所述，原不等式的解集为{x|1＜x＜2或x＜

3- 17

2

}．

点评：考查了单调性的证明方法，定义法证明分五步，也可以求导证明；同时考查了不等式的解法，注意为什么要讨论．