Question

【题目】今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以余数为的项，将这样的操作记为操作.设数列是无穷非减正整数数列.

（1）若，进行操作后得到，设前项和为

①求．

②是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由．

（2）若，对进行与操作得到，再将中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．

Answer 1

【答案】（1）①②不存在．见解析（2）见解析

【解析】

（1）计算得到，再计算得到答案，假设存在，由单调递增，不妨设，化简，不成立.

（2）计算，根据题意得到，再证明得到答案.

（1）①由知：当时，故．

则．

②解：假设存在，由单调递增，不妨设

化简得，显然左式为偶数，右式为奇数，矛盾，故不存在．

（2）易知，

所以保留，则．

又，将删去，

得到，则

也即．

记，下面证明：．

由，

知：

，

同理可得：，

合并以上四式，便证明了对任意的，都有．

因此，原命题得证．