【题目】【2017福建三明5月质检】已知函数,.
(Ⅰ)当时,求证:过点有三条直线与曲线相切;
(Ⅱ)当时,,求实数的取值范围.
【答案】(I)详见解析;(II).
【解析】
解法一:(Ⅰ)当时,,
设直线与曲线相切,其切点为,
则曲线在点处的切线方程为:,
因为切线过点,所以,
即,
∵,∴,
设,
∵,,,
∴在三个区间上至少各有一个根
又因为一元三次方程至多有三个根,所以方程恰有三个根,
故过点有三条直线与曲线相切.
(Ⅱ)∵当时,,即当时,
∴当时,,
设,则,
设,则.
(1)当时,∵,∴,从而(当且仅当时,等号成立)
∴在上单调递增,
又∵,∴当时,,从而当时,,
∴在上单调递减,又∵,
从而当时,,即
于是当时,.
(2)当时,令,得,∴,
故当时,,
∴在上单调递减,
又∵,∴当时,,
从而当时,,
∴在上单调递增,又∵,
从而当时,,即
于是当时,,
综合得的取值范围为.
解法二:(Ⅰ)当时,,
,
设直线与曲线相切,其切点为,
则曲线在点处的切线方程为,
因为切线过点,所以,
即,
∵,∴
设,则,令得
当变化时,,变化情况如下表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
∴恰有三个根,
故过点有三条直线与曲线相切.
(Ⅱ)同解法一.
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【题目】【2017北京西城区5月模拟】某大学为调研学生在,两家餐厅用餐的满意度,从在,两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为60分.
整理评分数据,将分数以10为组距分成6组:,,,,,,得到餐厅分数的频率分布直方图,和餐厅分数的频数分布表:
定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下:
分数 | |||
满意度指数 |
(Ⅰ)在抽样的100人中,求对餐厅评价“满意度指数”为0的人数;
(Ⅱ)从该校在,两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查,试估计其对餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高的概率;
(Ⅲ)如果从,两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?说明理由.
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【题目】设直线l1 , l2分别是函数f(x)= 图象上点P1 , P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1 , l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
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【题目】已知点A,B,C,D是直角坐标系中不同的四点,若 =λ (λ∈R), =μ (μ∈R),且 =2,则下列说法正确的是( )
A.C可能是线段AB的中点
B.D可能是线段AB的中点
C.C,D可能同时在线段AB上
D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上
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【题目】在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,﹣),(0,)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A,B两点.
(1)写出C的方程;
(2)若⊥ , 求k的值.
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【题目】2012年“双节”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/t)分成六段:(60,65),[65,70),[70,75),[80,85),[85,90)后得到如图的频率分布直方图.
(1)某调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法?
(2)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.
(3)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆,求车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率.
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