【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,若
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)先求得函数的导函数,然后根据三种情况,讨论
的单调性.
(2)由题可知在
上恒成立,构造函数
,利用导数研究
的单调性和最值,对
分成
两种进行分类讨论,根据
在
上恒成立,求得
的取值范围.
(1),
当时,令
,得
,令
,得
或
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减.
当时,
在
上单调递增.
当时,令
,得
,令
,得
或
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)由题可知在
上恒成立,
令,则
,
令,则
,
所以在
上为减函数,
.
当时,
,即
在
上为减函数,
则,所以
,即
,得
.
当时,令
,若
,则
,
所以,所以
,
又,所以
在
上有唯一零点,设为
,
在上,
,即
单调递增,在
上,
,即
单调递减,则
的最大值为
,
所以恒成立.
由,得
,则
.
因为,所以
,由
,得
.
记,则
,
所以在
上是减函数,故
.
综上,的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知拋物线:
(
),过点
且斜率为1的直线
与拋物线
交于
,
两点,且
为
的中点.
(1)求拋物线的方程;
(2)设直线与
轴交点为
,若过
的直线
与拋物线
交于
,
两点,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】长春市统计局对某公司月收入在元内的职工进行一次统计,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示职工月收入在区间
内,单位:元).
(Ⅰ)请估计该公司的职工月收入在内的概率;
(Ⅱ)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为:
.
(1)求直线和曲线
的直角坐标方程;
(2),直线
和曲线
交于
、
两点,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了了解手机品牌的选择是否和年龄的大小有关,随机抽取部分华为手机使用者和苹果机使用者进行统计,统计结果如下表:
年龄 手机品牌 | 华为 | 苹果 | 合计 |
30岁以上 | 40 | 20 | 60 |
30岁以下(含30岁) | 15 | 25 | 40 |
合计 | 55 | 45 | 100 |
附:
P( | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
根据表格计算得的观测值
,据此判断下列结论正确的是( )
A.没有任何把握认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
B.可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
D.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小无关”
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】物业公司为了改善某小区空气质量和居住环境,计划将小区内部的空地种植绿植,平时许多用户将私家车停在空地上,为了了解该小区居民对种植绿植的态度,在该小区中随机抽查了100人进行了调查,调查情况如下表:
年龄段 | ||||||
频数 | 5 | 15 | 20 | 20 | 10 | |
赞成人数 | 3 | 12 | 17 | 18 | 16 | 2 |
(1)求出表格中的值,并完成被调查人员年龄的频率分布图.
(2)若从年龄在被调查者中按照是否赞成进行分层抽样,从中抽取5人参与某项调查,然后再从这5人中随机抽取2人参加座谈会,求选出的2人中至少有1人赞成“种植绿植”的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】新高考取消文理科,实行“”模式,成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况,随机调查50人,并把调查结果制成下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | 5 | 15 | 10 | 10 | 5 | 5 |
了解 | 4 | 12 | 6 | 5 | 2 | 1 |
(1)把年龄在称为中青年,年龄在
称为中老年,请根据上表完成
列联表,是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?
了解新高考 | 不了解新高考 | 总计 | |
中青年 | |||
中老年 | |||
总计 |
附:.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(2)若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查,记选中的3人中了解新高考的人数为
,求
的分布列以及
.
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