Question

定义两个平面向量|

a

|，|

b

|的一种运算

a

?

b

=|

a

||

b

|sinθ，（其中向量

a

，

b

的夹角为θ），则以下等式中：
①若

a

∥

b

，则

a

?

b

=0；
②

a

?

b

=

b

?

a

；
③λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

；
④（

a

?

b

）²+（

a

•

b

）²=|

a

|²•|

b

|²．
其中恒成立的是

 

（填写序号）．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：利用新定义和数量积运算即可判断出．

解答： 解：①若

a

∥

b

，则＜

a

，

b

＞=0或π，∴sin＜

a

，

b

＞=0，∴

a

?

b

=0，因此恒成立；
②

a

?

b

=|

a

||

b

|sinθ=

b

?

a

，因此恒成立；
③λ（

a

?

b

）=λ|

a

| |

b

|sin θ，（λ

a

）?

b

=|λ||

a

| |

b

|sin φ，
（φ是λa与b的夹角），当λ＜0时不成立；
④由

a

?

b

=|

a

| |

b

|sin θ，

a

•

b

=|

a

| |

b

|cos θ，可知：（

a

?

b

）²+（

a

•

b

）²=|

a

|²•|

b

|²．∴④恒成立．
综上可得：恒成立的是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了新定义和数量积运算，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．