Question

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n=12n-n²，
（1）求这个数列的通项公式           
（2）求S_n取最大值时n的值．
（3）设T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据a_n与S_n的关系，即可求这个数列的通项公式           
（2）根据二次函数的图象和性质，即可求S_n取最大值时n的值．
（3）求出|a_n|的表达式，即可求T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|的值．

解答： 解：（1）当n≥2，a_n=S_n-S_n-1=12n-n²-[12（n-1）-（n-1）²]=13-2n，
当n=1时，a₁=12-1=11满足a_n=13-2n，
∴这个数列的通项公式a_n=13-2n．
（2）∵S_n=12n-n²=-（n-6）²+36，
∴当n=6时，S_n取最大值．
（3）∵a_n=13-2n，
∴由13-2n≥0，即n≤

13

2

=6

1

2

，即n≤6时，a_n＞0，
当n≥7时，a_n＜0，
则若n≤6，T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|═a₁+a₂+a₃+…+a_n=S_n=12n-n²，
若n≥7，T_n=a₁+a₂+…+a₆-a₇-…-a_n=2（a₁+a₂+…+a₆）-（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=2S₆-S_n=2（12×6-36）-（12n-n²）
=n²-12n+72．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的计算，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．