【题目】函数.
(1)求的单调区间;
(2)在函数的图象上取两个不同的点,令直线的斜率为,则在函数的图象上是否存在点,且,使得?若存在,求两点的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析 (2)不存在,见解析
【解析】
(1)先求出,再对分四种情况讨论得到函数的单调区间;
(2)假设存在,即满足,不妨令,计算出得到存在, 只要证存在,令,故转化为存在,即需要证明,再利用导数证明即得不存在.
(1)由题知定义域为,
①当时,,
令,解得,解得
即函数在上单调递增,在及上单调递减;
②当时,,在上,
即函数在上单调递减;
③当时,
令,解得,解得
即函数在上单调递增,在(0,1)及上单调递减;
④当时,
令,解得,解得
即函数在上单调递增,在(0,1)上单调递减
综上所述:
当时,增区间为,减区间为及;
当时,减区间为;
当时,增区间为,减区间为(0,1)及;
当时,减区间为(0,1),增区间为;
(2)假设存在,即满足,
因为已知,不妨令,
则
而由
得存在,也就是证存在,
只要证存在,
令,故转化为存在,
即需要证明,令
则有,
故在上单调递增,所以,
故不存在.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准:用水量不超过的部分按照平价收费,超过的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准,通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量(单位:吨),按照分组制作了频率分布直方图,
(1)从频率分布直方图中估计该40位居民月均用水量的众数,中位数;
(2)在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人,其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是多少?
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【题目】已知为等差数列,各项为正的等比数列的前项和为,,,__________.在①;②;③这三个条件中任选其中一个,补充在横线上,并完成下面问题的解答(如果选择多个条件解答,则以选择第一个解答记分).
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
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【题目】在2019年亚洲杯前,某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队,制作了3种精美海报,每份中国队球迷礼包中随机装入一份海报,每集齐3种不同的海报就可获得中国队在亚洲杯上所有比赛中的1张门票.现有6名中国队球迷组成的球迷团,每人各买一份中国队球迷礼包,则该球迷团至少获得1张门票的可能情况的种数为( )
A.360B.450C.540D.990
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【题目】已知点为抛物线的焦点,点在抛物线上,过点的直线交抛物线于两点,线段的中点为,且满足.
(1)若直线的斜率为1,求点的坐标;
(2)若,求四边形面积的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=|x|+|x﹣1|.
(1)若f(x)≥|m﹣1|恒成立,求实数m的最大值M;
(2)在(1)成立的条件下,正实数a,b满足a2+b2=M,证明:a+b≥2ab.
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