Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点P的坐标为.

（1）求椭圆M的方程；

（2）设椭圆的右顶点为C，不经过点C的直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点C，

①证明：直线l过定点，并求出该定点坐标；

②求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①证明见解析；定点.②

【解析】

（1）由得，然后将代入椭圆的方程即可求解

（2）①设直线AB的方程，，，联立可得，，由以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C得，然后可算出，②，设，然后可得，然后利用二次函数的知识即可求出最大值.

（1）由已知，又，则.

椭圆方程为，将代入方程得，

故椭圆的方程为；

（2）①证明：由题意知直线斜率不为0，设直线AB的方程，

联立消去x得

.

设，，

则有，①

又以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，，

由，得，

将代入上式得

，

将①代入上式求得或（舍），

则直线l恒过点.

②由上可得，

设，

则在上单调递增，

当时，取得最大值.