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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)
(1)当椭圆的离心率e=
1
2
,一条准线方程为x=4 时,求椭圆方程;
(2)设P(x,y)是椭圆上一点,在(1)的条件下,求z=x+2y的最大值及相应的P点坐标.
(3)过B(0,-b)作椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的弦,若弦长的最大值不是2b,求椭圆离心率的取值范围.
(1)∵
e=
c
a
=
1
2
a2
c
=4
,∴c=1,a=2,b=
3
,椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)因为P(x,y)在椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
上,所以可设x=2cosθ,y=
3
sinθ

z=2cosθ+2
3
sinθ=4sin(θ+
π
6
)≤4
,∴zmax=4,此时θ=2kπ+
π
3
(k∈Z)

相应的P点坐标为(1,
3
2
)

(3)设弦为BP,其中P(x,y),∵BP2=x2+(y+b)2=a2-
a2
b2
y2+y2+2by+b2

=-
c2
b2
y2+2by+a2+b2=-
c2
b2
(y-
b3
c2
)+
b4
c2
+a2+b2=f(y),(-b≤y≤b)

因为BP的最大值不是2b,又f(b)=4b2
所以f(y)不是在y=b时取最大值,而是在对称轴y=
b3
c2
处取最大值,
所以
b3
c2
<b
,所以b2<c2,解得离心率e∈(
2
2
,1)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,若|F1F2|=2,椭圆的离心率为e=
1
2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程,
(Ⅱ)若P是椭圆上的任意一点,求
PF1
PA
的取值范围
(III)直线l:y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M,N(均不是长轴的顶点),AH⊥MN垂足为H且
AH
2
=
MH
HN
,求证:直线l恒过定点.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)是长轴的一个四等分点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点,记直线AD、BC的斜率分别为k1,k2
(1)当点D到两焦点的距离之和为4,直线l⊥x轴时,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率是
3
2
,且经过点M(2,1),直线y=
1
2
x+m(m<0)
与椭圆相交于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当m=-1时,求△MAB的面积;
(3)求△MAB的内心的横坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•威海二模)已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为e=
6
3
,过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点M(0,2),直线l:y=1,过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点,若N为AB的中点,D为N在直线l上的射影,AB的中垂线与y轴交于点P.求证:
ND
MP
AB
2
为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为F,过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点,若|MN|=3,且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根,求椭圆方程.

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