Question

5．若数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{2}{3}$a_n-$\frac{2}{3}$，则数列{a_n}的通项公式a_n=（-2）ⁿ．

Answer 1

分析 利用递推关系可得：a_n=-2a_n-1，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵S_n=$\frac{2}{3}$a_n-$\frac{2}{3}$，
∴当n=1时，${a}_{1}=\frac{2}{3}{a}_{1}$-$\frac{2}{3}$，解得a₁=-2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2}{3}$a_n-$\frac{2}{3}$-$（\frac{2}{3}{a}_{n-1}-\frac{2}{3}）$，化为：a_n=-2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为-2．
∴a_n=（-2）ⁿ．
故答案为：（-2）ⁿ．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．