Question

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx．
（1）若f（x）无极值点，但其导函数f'（x）有零点，求实数a的值；
（2）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围并证明f(

1

2a

)＜-

3

2

．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）=ax²-2x+lnx的导函数f′（x），f′（x）有零点而无极值点，表明该零点左右导数同号，即2ax²-2x+1=0的△=0，解方程即可
（2）若f（x）有两个极值点，则f′（x）=0有两个正根，结合二次函数y=2ax²-2x+1的图象，列不等式即可得a的取值范围；∵f(

1

2a

)=ln

1

2a

-

3

4a

，令

1

2a

=t，则t∈（1，+∞），构造新函数g(t)=lnt-

3

2

t t∈（1，+∞），利用导数发现其为减函数，所以g（t）＜g（1）=-

3

2

，即f(

1

2a

)＜-

3

2

解答：解；（1）f′（x）=

2ax2-2x+1

x

，f′（x）有零点而无极值点，表明该零点左右导数同号，∴a≠0，2ax²-2x+1=0的△=0，∴a=

1

2

（2）若f（x）有两个极值点，则f′（x）=0有两个正根，∴a≠0
∵y=2ax2-2x+1经过点(0，1)∴

a＞0 △＞0

，∴0＜a＜

1

2

∵f(

1

2a

)=ln

1

2a

-

3

4a

，令

1

2a

=t，则t∈（1，+∞），设g(t)=lnt-

3

2

t     g′（t）=

1

t

-

3

2

=

2-3t

2t

，t∈（1，+∞）时g′（t）＜0，
所以g(t)=lnt-

3

2

t在（1，+∞）上单调递减，所以g（t）＜g（1）=-

3

2

，
所以f(

1

2a

)＜-

3

2

．

点评：本题考查了导数在解决函数极值和证明不等式中的应用，解题时要认真求导，防止错到起点，还要有数形结合的思想，提高解题速度．