(本小题满分12分)
已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC上的动点。
(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅱ)当点E在何位置时,BD⊥AE?证明你的结论;
(Ⅲ)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
(Ⅰ);(Ⅱ)不论点E在何位置,都有BD⊥AE;(Ⅲ)。
解析试题分析:(Ⅰ)解:由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC="2."
∴----------------------------2分
(Ⅱ) 不论点E在PC上何位置,都有BD⊥AE---------------------------------------3分
证明如下:连结AC,∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC-----------5分
又∵∴BD⊥平面PAC
∵不论点E在何位置,都有AE平面PAC
∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE ----------------------------------------------7分
(Ⅲ) 解法一:在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G,连结BG
∵CD="CB,EC=EC," ∴≌
∴ED="EB," ∵AD=AB ∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴为二面角D-EA-B的平面角--------------------------10分
∵BC⊥DE, AD∥BC ∴AD⊥DE
在Rt△ADE中==BG
在△DGB中,由余弦定理得
∴=-----------------------12分
[解法二:以点C为坐标原点,CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:
则,从
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
由可得:,
同理得:。令,则,
∴------10分
设二面角D-AE-B的平面角为,则 ∴------12分
考点:锥体的体积公式;线面垂直的判定定理;线面垂直的性质定理;二面角。
点评:二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种:①综合法,综合法的一般步骤是:一作二说三求。②向量法,运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角,但结果往往求不对,出现的问题就是计算错误。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
是双曲线 上一点,、分别是双曲线的左、右顶点,直线,的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,两点,为坐标原点,为双曲线上一点,满足,求的值.
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如图,在△中,,,点在上,交于,交于.沿将△翻折成△,使平面平面;沿将△翻折成△,使平面平面.
(Ⅰ)求证:平面.
(Ⅱ)设,当为何值时,二面角的大小为?
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如图,已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内,且平面ABCD ⊥平面DCEF,M,N分别为AB,DF的中点。
(1)求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值;
(2)求异面直线ME与BN所成角的余弦值。
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(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90o,PA⊥底面ABCD,PA=AB=AD=2,BC=1,E为PD的中点.
(1) 求证:CE∥平面PAB;
(2) 求PA与平面ACE所成角的大小;
(3) 求二面角E-AC-D的大小.
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(本小题满分12分)
如图:在三棱锥D-ABC中,已知是正三角形,AB平面BCD,,E为BC的中点,F在棱AC上,且
(1)求三棱锥D-ABC的表面积;
(2)求证AC⊥平面DEF;
(3)若M为BD的中点,问AC上是否存在一点N,使MN∥平面DEF?若存在,说明点N的位置;若不存在,试说明理由.
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(本题满分12分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,BAD=90°,PA底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M、N分别为PC、PB的中点.
(Ⅰ)求证:PB平面ADMN;
(Ⅱ)求四棱锥P-ADMN的体积.
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