【题目】已知函数f(x)=|ax+1|+|2x﹣1|(a∈R).
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥2的解集;
(2)若f(x)≤2x在x∈[,1]时恒成立,求a的取值范围.
【答案】(1) 解集为(﹣∞,0]∪[,+∞),(2) a的取值范围是[﹣2,0].
【解析】试题分析:(1)将参数值代入,零点分区间分段解不等式;(2)不等式恒成立求参,f(x)≤2x在x∈[,1]时恒成立时恒成立,可化为|ax+1|≤1,再变量分离;
(1)当a=1时,不等式f(x)≥2可化为|x+1|+|2x﹣1|≥2
①当x≥ 时,不等式为3x≥2,解得x≥
,故x≥
;
②当﹣1≤x<时,不等式为2﹣x≤2,解得x≤0,故﹣1≤x≤0;
③当x<﹣1时,不等式为﹣3x≥2,解得x≤﹣,故x<﹣1;
综上原不等式的解集为(﹣∞,0]∪[,+∞);
(2)f(x)≤2x在x∈[,1]时恒成立时恒成立,
当x∈[,1]时,不等式可化为|ax+1|≤1,
解得﹣2≤ax≤0,所以﹣≤a≤0,因为x∈[
,1],所以﹣
∈[﹣4,﹣2],所以a的取值范围是[﹣2,0].
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【题目】(本小题满分为14分)已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
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【题目】已知圆经过点
、
,并且直线
:
平分圆
.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若过点,且斜率为
的直线
与圆
有两个不同的交点
.
(ⅰ)求实数的取值范围;
(ⅱ)若,求
的值.
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【题目】已知{an}是递增的等差数列,它的前三项的和为﹣3,前三项的积为8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Sn .
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【题目】已知椭圆的两个焦点是
和
,并且经过点
,抛物线
的顶点在坐标原点,焦点恰好是椭圆
的右顶点.
(Ⅰ)求椭圆和抛物线
的标准方程;
(Ⅱ)已知点为抛物线
内一个定点,过
作斜率分别为
的两条直线交抛物线
于点
,且
分别是
的中点,若
,求证:直线
过定点.
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【题目】正方体的棱长为
,
为
的中点,
为线段
的动点,过
的平面截该正方体所得的截面记为
,则下列命题正确的序号是_________.
①当时,
的面积为
;
②当时,
为六边形;
③当时,
与
的交点
满足
;
④当时,
为等腰梯形;
⑤当时,
为四边形.
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【题目】已知函数 的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调递增区间和对称中心坐标;
(3)将f(x)的图象向左平移 个单位,再讲横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数g(x)的图象,求函数y=g(x)在
上的最大值和最小值.
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