Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+2
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）将f（x）图象向右平移

π

12

个单位，再将周期扩大为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，若方程g（x）-a=0在x∈[

π

2

，2π]上有且只有一个实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用倍角公式降幂，化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式，然后由复合函数的单调性求f（x）的单调递增区间；
（2）利用三角函数的图象平移得到函数g（x）的图象所对应的函数解析式，数形结合得答案．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+2
=

3

sin2x+cos2x-1+2=2sin(2x+

π

6

)+1．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2x+

π

2

，得
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）；
（2）将f（x）图象向右平移

π

12

个单位，再将周期扩大为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，
则g（x）=2sinx+1，作出g（x）在x∈[

π

2

，2π]上图象后数形结合可得a∈（1，3]∪{-1}．

点评：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的倍角公式及两角和的正弦，考查了三角函数的图象平移，是中档题．