Question

13．对任意锐角△ABC，均有sinA+sinB+sinC＞M成立，则实数M的最大值为2．

Answer 1

分析 利用导数证明sinx$＞\frac{2}{π}x$在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上成立，然后可得在锐角△ABC中，有sinA$＞\frac{2}{π}A$，sinB＞$\frac{2}{π}B$，
sinC$＞\frac{2}{π}C$，作和后结合三角形内角和定理得答案．

解答 解：设f（x）=$\frac{sinx}{x}$（0$＜x＜\frac{π}{2}$），
则f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=xcosx-sinx，则h′（x）=-xsinx＜0在（0，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴h（x）=xcosx-sinx在（0，$\frac{π}{2}$）上为减函数，故xcosx-sinx＜0在（0，$\frac{π}{2}$）上恒成立，
∴f′（x）＜0，
则f（x）=$\frac{sinx}{x}$在（0，$\frac{π}{2}$）上为减函数，
而f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{2}{π}$，∴f（x）=$\frac{sinx}{x}$$＞\frac{2}{π}$，即sinx$＞\frac{2}{π}x$．
则在锐角△ABC中，有
sinA$＞\frac{2}{π}A$，sinB＞$\frac{2}{π}B$，sinC$＞\frac{2}{π}C$．
三式相加得：sinA+sinB+sinC＞$\frac{2}{π}$（A+B+C），
又A+B+C=π，
∴sinA+sinB+sinC＞2．
则满足sinA+sinB+sinC＞M成立的实数M的最大值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查利用导数求函数的最值，考查了三角形内角和定理，训练了不等式性质的应用，是中档题．