Question

已知数列{x_n}满足x₁=0，x_n+1=-x_n²+x_n+c（n∈N^*）．求证：0＜c＜1是数列{x_n}是单调递增数列的必要不充分条件．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：证明题,转化思想

分析：由已知条件求出x₂=c，x3=-c2+2c，由x₃＞x₂求出数列是递增数列的c的初步范围，然后再由数列是递增数列得到xn+1-xn=c-xn2＞0，分0＜c≤

1

4

和c＞

1

4

讨论数列是否一定为递增数列．

解答： 证明：由x₁=0，x_n+1=-x_n²+x_n+c，得
x₂=c，x3=-c2+2c，
由数列{x_n}是单调递增数列，得
x3-x2=-c2+2c-c＞0，解得0＜c＜1．
再由x_n+1=-x_n²+x_n+c，得
xn+1-xn=c-xn2，
由数列{x_n}是单调递增数列，得
xn+1-xn=c-xn2＞0，
即xn2＜c＜1，
0=x₁≤x_n＜

c

，
xn+2-xn+1=(xn+12-xn2)+(xn+1-xn)=-（x_n+1-x_n）（x_n+1+x_n-1），
当0＜c≤

1

4

时，xn＜

c

≤

1

2

，
⇒x_n-x_n+1+1＞0?x_n+2-x_n+1-1＜0，?x_n+2-x_n+1与x_n+1-x_n同号，
由x₂-x₁=c＞0⇒x_n+1-x_n＞0?x_n+1＞x_n，数列是递增数列．
当c＞

1

4

时，存在N使x_N＞

1

2

⇒x_N+x_N+1＞1⇒x_N+2-x_N+1与x_N+1-x_N异号，
与数列{x_n}是递增数列矛盾．
∴当0＜c≤

1

4

时，数列{x_n}是递增数列．
故0＜c＜1是数列{x_n}是单调递增数列的必要不充分条件．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，函数的单调性的证明，充要条件的证明，考查逻辑推理能力，计算能力，是压轴题．