【题目】已知函数,
,
,令
.
(Ⅰ)研究函数的单调性;
(Ⅱ)若关于的不等式
恒成立,求整数
的最小值;
(Ⅲ),正实数
,
满足
,证明:
.
【答案】(1) 的单增区间为
.
(2)2.
(3)见解析.
【解析】分析:(1)先求函数的定义域,然后求导,通过导数大于0得到增区间;
(2)不等式恒成立问题转化为函数的最值问题,应先求导数,研究函数的单调性,然后求函数的最值;
(3)联系函数的单调性,然后证明即可,注意对函数的构造.
详解:(1),
,
由,得
,又
,所以
,所以
的单增区间为
.
(2)方法一:令,
所以.
当时,因为
,所以
.所以
在
上是递增函数,
又因为,
所以关于的不等式
不能恒成立.当
时,
.
令,得
,所以当
时,
;当
时,
.
因此函数在
是增函数,在
是减函数.
故函数的最大值为
.令
,因为
,
,又因为
在
上是减函数,所以当
时,
.所以整数
的最小值为
.
方法二:(2)由恒成立,得
在
上恒成立.
问题等价于在
上恒成立.令
,只要
.因为
,令
,得
.设
,因为
,所以
在
上单调递减,不妨设
的根为
.当
时,
;当
时,
.所以
在
上是增函数;在
上是减函数.
所以.因为
,
所以.此时
,
.所以
,即整数
的最小值为
.
(3)当时,
,
由
,即
从而
令,则由
得,
可知
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.所以
,所以
,即
成立.
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【题目】在育民中学举行的电脑知识竞赛中,将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组,绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数是40.
(1)求第二小组的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)求这两个班参赛的学生人数是多少?
(3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,且椭圆
上一点
到点
的距离的最大值为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,
为抛物线
:
上一动点,过点
作抛物线
的切线交椭圆
于
两点,求
面积的最大值.
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【题目】已知函数f (x)=ex,g(x)=x-b,b∈R.
(1)若函数f (x)的图象与函数g(x)的图象相切,求b的值;
(2)设T(x)=f (x)+ag(x),a∈R,求函数T(x)的单调增区间;
(3)设h(x)=|g(x)|·f (x),b<1.若存在x1,x2 [0,1],使|h(x1)-h(x2)|>1成立,求b的取值范围.
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【题目】给定椭圆C:(a>b>0),称圆C1:x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”.已知椭圆C的离心率为
,且经过点(0,1).
(1)求实数a,b的值;
(2)若过点P(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点,且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2,求实数m的值.
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【题目】交通指数是指交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值,记交通指数为,其范围为
,分别有五个级别:
,畅通;
,基本畅通;
,轻度拥堵;
,中度拥堵;
,严重拥堵.在晚高峰时段(
),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.
(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数;
(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;
(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个,求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】学校计划在全国中学生田径比赛期间,安排6位志愿者到4个比赛场地提供服务,要求甲、乙两个比赛场地各安排一个人,剩下两个比赛场地各安排两个人,其中的小李和小王不在一起,不同的安排方案共有( )
A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种
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