Question

已知函数f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程分f（x）=x有两个相等的实根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[1，2]时，判断函数g（x）=f（x）-m的零点的个数．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）=x，即ax²+（b-1）x=0有两个相等实数根，所以判别式△=（b-1）²=0，所以求出b=1，而由f（2）=0即可求出a=-

1

2

；
（2）容易判断出g（x）在[1，2]上单调递减，所以只需讨论g（2）＞0，g（2）=0，

g(1)≥0 g(2)＜0

，g（1）＜0这几种情况即可判断出g（x）零点的个数．

解答： 解：（1）由题意知，ax²+（b-1）x=0有两个相等实根；
∴△=（b-1）²=0；
∴b=1；
由f（2）=0得，4a+2b=4a+2=0；
∴a=-

1

2

；
∴f（x）=-

1

2

x2+x；
（2）g（x）=-

1

2

x2+x-m，该函数的对称轴为x=1；
∴g（x）在[1，2]上单调递减；
∴若g（2）=-m＞0，即m＜0，g（x）零点个数为0；
若g（2）=-m=0，即m=0，g（x）零点个数为1；
若g（2）=-m＜0，且g（1）=

1

2

-m≥0，即0＜m≤

1

2

，g（x）零点个数为1；
若g（1）=

1

2

-m＜0，即m＞

1

2

，g（x）零点个数为0．

点评：考查一元二次方程有两相等实数根时判别式△的取值情况，二次函数的单调性，函数零点的概念，以及根据单调性判断零点的过程．