Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x²＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.

(1) 求实数b的取值范围；

(2) 求圆C的方程；

(3) 圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．

Answer 1

解：(1) 令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x²＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.

(2) 设所求圆的一般方程为x²＋ y²＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x²＋Dx＋F＝0，这与x²＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b，令x＝0，得y²＋ Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x²＋ y²＋2x －(b＋1)y＋b＝0.

(3) 圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．

证明：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝ 0²＋ 1²＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点(0，1)；同理可证圆C必过定点(－2，1)．