Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a＞0）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，代入切线方程整理即可；
（2）求出导函数，令导函数为0求出根，通过讨论根与区间[1，e]的关系，判断出函数的单调性，求出函数的最小值

解答 解：（1）a=2，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，f′（x）=x-$\frac{2}{x}$，
f′（1）=-1，f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程是：2x+2y-3=0；
（2）由f′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，
由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0得x=$\sqrt{a}$，
①若$\sqrt{a}$≤1即0＜a≤1在（1，e）上，f′（x）＞0，
f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$；
②若1＜$\sqrt{a}$＜e，即1＜a＜e²；
在（1，$\sqrt{a}$）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
在（$\sqrt{a}$，e）上，f′（x）＞0，
f（x）单调递增，因此在[1，e]上，f（x）_min=f（$\sqrt{a}$）=$\frac{1}{2}$a（1-lna）；
③若$\sqrt{a}$≥e，即a≥e²在（1，e）上，f′（x）＜0，
f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=$\frac{1}{2}$e²-a
综上，当0＜a≤1时，f（x）_min=$\frac{1}{2}$；
当1＜$\sqrt{a}$＜e时，f（x）_min=$\frac{1}{2}$a（1-lna）；
当a≥e²时，f（x）_min=$\frac{1}{2}$e²-a．

点评 本题考查函数的单调区间的求法、利用导数求闭区间上函数的最值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行分类讨论思想和等价转化思想进行解题．