Question

对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数，请解答下列问题：

（Ⅰ）求函数的“拐点”A的坐标；

（Ⅱ）求证的图象关于“拐点”A对称，并写出对于任意三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（不需证明）；

（Ⅲ）设是函数的两个极值点，求证：线段与曲线存在异于的共同点；

（Ⅳ）若另一个三次函数的“拐点”为，当，试比较与的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）

令得

所以“拐点”A的坐标为

（Ⅱ）设是图象上任意一点，则

关于的对称点，

把代入，得左边

右边=

所以左边=右边，所以在图象上，

所以的图象关于“拐点”A对称．

结论：任何三次函数的拐点都是它的对称中心（表达方式不唯一）

（Ⅲ）设，

因为是函数的两个极值点，所以是的两根，

又  所以

所以关于“拐点”A对称

所以线段与曲线存在异于的共同点A

（Ⅳ）有题意知，

 

 

=  

当时，，

当时，