Question

16．在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=$\frac{π}{3}$．
（1）若cos∠ADC=$\frac{1}{3}$，求AB的值；
（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？

Answer 1

分析 （1）由已知利用诱导公式可求cos∠ADB，利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，进而利用正弦定理可求AB的值．
（2）由已知利用正弦定理可得$BD=2\sqrt{3}sinθ，AB=2\sqrt{3}sin（\frac{2π}{3}-θ）$，从而利用三角函数恒等变换的应用可得f（θ）=$6sin（θ+\frac{π}{6}）+3$，利用正弦函数的性质即可得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵$cos∠ADC=\frac{1}{3}$，
∴$cos∠ADB=-\frac{1}{3}$，
∴$sin∠ADB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$…2分（注：先算∴sin∠ADC给1分）
∵$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sinB}$，…3分
∴$AB=\frac{{3•\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，…5分
（2）∵∠BAD=θ，
∴$∠BDA=\frac{2π}{3}-θ$，…6
由正弦定理有$\frac{BD}{sinθ}=\frac{AB}{sin∠BDA}=\frac{AB}{sinB}=\frac{3}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2\sqrt{3}$，…7分
∴$BD=2\sqrt{3}sinθ，AB=2\sqrt{3}sin（\frac{2π}{3}-θ）$，…8分
∴$f（θ）=2\sqrt{3}sinθ+2\sqrt{3}sin（\frac{2π}{3}-θ）+3=3\sqrt{3}sinθ+3cosθ+3$，…10分
=$6sin（θ+\frac{π}{6}）+3$，…11分
当$θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$时f（θ）取到最大值9．…12分

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．