Question

已知

a

，

b

是空间中两个相互垂直的单位向量，且|

c

|=3，

c

•

a

=1，

c

•

b

=2，则对于任意实数t₁，t₂，|

c

-t₁

a

-t₂

b

|的最小值是（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、4

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：根据题意，(

a

)2=(

b

)2=1，且

a

•

b

=0，将此代入|

c

-t₁

a

-t₂

b

|的式子，并且结合|

c

|=3，

c

•

a

=1，

c

•

b

=2，化简整理得到关于实数t₁，t₂的方程，当且仅当t₁=1，t₂=2时，|

c

-t₁

a

-t₂

b

|²的最小值为4，

解答： 解：|

c

-t₁

a

-t₂

b

|²=(

c

)2+t12(

a

)2+t22(

b

)2-2t1(

c

•

a

)-2t2(

c

•

b

)+2t1t2(

a

•

b

)
∵

a

，

b

是空间中两个相互垂直的单位向量，且|

c

|=3，

c

•

a

=1，

c

•

b

=2，
∴|

c

-t₁

a

-t₂

b

|²=9+t12+t22-2t1-4t2=(t1-1)2+(t2-2)2+4，
由此可得，当且仅当t₁=1，t₂=2时，|

c

-t₁

a

-t₂

b

|²的最小值为4，
∴|

c

-t₁

a

-t₂

b

|的最小值是

4

=2．
故选：C．

点评：本题主要考查了平面向量的数量积及其运算性质和二次式的最值等知识，属于中档题．