Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n，并求满足T_n＜55的最大正整数n．

Answer 1

分析 （1）由n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，S_n-1=2ⁿ-2，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，验证当n=1时成立，求得数列{a_n}的通项，在数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．可得b_n+1-b_n=2．再利用等差数列的通项公式求得数列{b_n}的通项．
（2）由（1）可知c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，再利用“错位相减法”求得T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，由T_n＜55，可得（2n-3）•2ⁿ⁺¹＜49，验证当n=3时满足T_n＜55．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2¹⁺¹-2=2，
当n≥2时，S_n-1=2ⁿ-2，
a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
当n=1时，成立，
∴数列{a_n}的通项a_n=2ⁿ，
∵P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
∴b_n-b_n+1+2=0，b_n+1-b_n=2，
∴数列{b_n}是以b₁=1为首项，以2为公差的等差数列，
∴数列{b_n}的通项b_n=2n-1；
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，
数列{c_n}的前n项和T_n，
∴T_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1×2²+3×2²+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
=2+$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，
由T_n＜55，可得（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6＜55，化为（2n-3）•2ⁿ⁺¹＜49．
当n=3时，左边=（2×3-3）×2⁴=48＜49=右边，
而当n=4时，左边=（2×4-3）×2⁵=5×32＞49=右边．
因此满足T_n＜55，的最大正整数n=3．

点评 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及其前n项和公式、考查利用“错位相减法”求数列前n项和的方法，考查数列与不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．