Question

【题目】已知函数f（x）（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）求f（x）的最大值，并指出取得最大值时x取值集合；
（3）当x∈[ ， ]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2

化简可得：f（x）=1+2sinxcosx+1+cos2x﹣2=sin2x+cos2x= sin（2x+ ）

函数f（x）的最小正周期T=

（2）解：令2x+ = ，k∈Z，

得：x= ．

∴当x= 时，f（x）取得最大值为 ．

∴取得最大值时x取值集合为{x|x= ，k∈Z}

（3）解：当x∈[ ， ]时，

可得：2x+ ∈[ ， ]，

∴﹣1≤sin（2x+ ）≤

∴ ≤ sin（2x+ ）≤1．

故得当x∈[ ， ]时，函数f（x）的值域为[ ，1]

【解析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；（2）根据三角函数的性质即可得f（x）的最大值，以及取得最大值时x取值集合；（3）当x∈[ ， ]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．