Question

（本小题满分13分）三棱锥P－DEF中, 顶点P在平面DEF上的射影为O.

（Ⅰ）如果PE＝PF＝PD, 证明O是三角形DEF的外心（外接圆的圆心）

（Ⅱ）如果, , , ,证明: O是三角形DEF的垂心（三条高的交点）

 

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ））详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）欲证点为的外心，即证点到三个顶点的距离相等，据题意易证是三个全等的三角形，所以，即点为外心；（Ⅱ）欲证点为垂心，只需证，根据已知结合勾股定理易证均为,直角三角形，加之，运用相关线面垂直和线线垂直的相关判定和定理，不难得出结论.

试题解析：（Ⅰ）如图（一）所示，过点P作，分别连结，则

由线面垂直的定义可得，

，根据HL公理得

,所以点为的 外心.

（Ⅱ）如图（二）所示，过点P作，分别联结，并分别延长使交于点，则根据已知，

有,即：为（勾股定理逆定理），

同理可证：均为，

,

,，

又,

由

,,

同理可证：，

分别是三边上的高，即：点为的垂心.

考点：线面垂直和线线垂直的相关判定和定理

考点：①三角形外心和垂心的定义；②线面垂直的定义、性质和判定；③勾股定理和三角形全等判定.