Question

与圆x²+y²-4y=0外切，又与x轴相切的圆的圆心轨迹方程是（　　）

• A、y²=8x
• B、y²=8x（x＞0）和y=0
• C、x²=8y（y＞0）
• D、x²=8y（y＞0）和x=0（y＜0）

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设与圆C：x²+y²-4y=0外切，又与x轴相切的圆的圆心M坐标为M（x，y），利用|MC|=|y|+2即可求得答案．

解答： 解：依题意，设所求圆的圆心M坐标为M（x，y），
∵所求的圆与圆C：x²+y²-4y=0，即x²+（y-2）²=4外切，又与x轴相切，
∴|MC|=|y|+2
∴

x2+(y-2)2

=2+|y|，
∴x²+y²-4y+4=4+4|y|+y²，
∴x²=4y+4|y|，
当y＞0时，x²=8y；
当y＜0时，x²=0，即x=0．
∴所求的圆的圆心轨迹方程为：x²=8y（y＞0）和x=0（y＜0）；
故选：D．

点评：本题考查曲线的轨迹方程，考查抛物线的标准方程，考查转化思想与方程思想，得到|MC|=|y|+2是关键，属于中档题．