Question

已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（

π

3

，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin²x的图象的一条对称轴是直线（　　）

• A、x=

  5π

  6

• B、x=

  4π

  3

• C、x=

  π

  3

• D、x=-

  π

  3

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的对称性

专题：三角函数的求值

分析：由对称中心可得λ=-

3

，代入g（x）由三角函数公式化简可得g（x）=

1

2

-sin（2x+

π

6

），令2x+

π

6

=kπ+

π

2

解x可得对称轴，对照选项可得．

解答： 解：∵f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（

π

3

，0），
∴f（

π

3

）=sin

π

3

+λcos

π

3

=

3

2

+

1

2

λ=0，解得λ=-

3

，
∴g（x）=-

3

sinxcosx+sin²x
=-

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=

1

2

-sin（2x+

π

6

），
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

可得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴函数的对称轴为x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
结合四个选项可知，当k=-1时x=-

π

3

符合题意，
故选：D

点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数对称性，属中档题．