Question

14．如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求异面直线FC与DE所成角的余弦值；
（2）求证：平面BDEF⊥平面ABCD；
（3）直线AF与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）设AB，CD交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，由FA=FC可得AC⊥FO，确定∠FBC（或其补角）为异面直线FC与DE所成角，即可求异面直线FC与DE所成角的余弦值；
（2）证明AC⊥平面BDEF，即可证明平面BDEF⊥平面ABCD；
（3）由（1）可得直线AF与平面ABCD所成角为∠FAO，即可直线AF与平面ABCD所成角的正切值．

解答 （1）解：设AB=2a，AB∩CD=O，连接DF，OF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵AF=CF，O为AC的中点，
∴AC⊥OF，
∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，
∴AO=OF=$\sqrt{3}$a，
∴FA=FC=$\sqrt{6}$a．
∵FB∥DE，
∴∠FBC（或其补角）为异面直线FC与DE所成角，
∵BC=BF=2a，
∴cos∠FBC=$\frac{4{a}^{2}+4{a}^{2}-6{a}^{2}}{2×2a×2a}$=$\frac{1}{4}$，
∴异面直线FC与DE所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$；
（2）证明：∵AC⊥OF，AC⊥BD，BD?平面BDEF，OF?平面BDEF，BD∩OF=O，
∴AC⊥平面BDEF，
∵AC?平面ABCD，
∴平面BDEF⊥平面ABCD；
（3）解：由（1）可得直线AF与平面ABCD所成角为∠FAO，
∴tan∠FAO=$\frac{FO}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}a}$=1，
∴直线AF与平面ABCD所成角的正切值为1．

点评 本题考查了线面垂直、平面与平面垂直的判定，菱形的性质，异面直线FC与DE所成角的余弦值、直线AF与平面ABCD所成角的正切值的计算，属于中档题．