Question

12．已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q是面对角线A₁C₁上的两个不同的动点（包括端点A₁，C₁）．给出以下四个结论：
①存在P，Q两点，使BP⊥DQ；
②存在P，Q两点，使BP，DQ与直线B₁C都成45°的角；
③若PQ=1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；
④若PQ=1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积之和为定值．
以上各结论中，正确结论的是①③④．

Answer 1

分析 令P与A₁点重合，Q与C₁点重合，可判断①正确；
空间中任意直线与BP，DQ夹角相等时，夹角最小值为45°，可判断②错误；
根据平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥（其中O为上底面中心），可判断③正确；
根据四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积不变，可判断④正确．

解答 解：当P与A₁点重合，Q与C₁点重合时，BP⊥DQ，①正确；
由①正确，可得空间中任意直线与BP，DQ夹角相等时，
夹角最小值为45°，②错误；
设平面A₁B₁C₁D₁两条对角线交点为O，则易得PQ⊥平面OBD，平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥，故四面体BDPQ的体积一定是定值，③正确；
四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定值，
四面体BDPQ在四个侧面上的投影，均为上底为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，
故四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，④正确；
综上，正确的命题是①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了正方体的几何特征，是空间异面直线关系，棱锥体积以及投影的综合应用问题，是难题．