Question

17．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，∠ABC=$\frac{π}{2}$，BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$．
（1）求证：BC⊥平面ABC₁；
（2）若侧面BB₁C₁C⊥平面ABC，求三棱锥C₁-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理计算BC₁，得出BC⊥BC₁，结合BC⊥AB便可得出BC⊥平面ABC₁；
（2）利用面面垂直的性质得出BC₁⊥平面ABC，于是V${\;}_{{C}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}$S_△ABC•BC₁．

解答 （1）证明：在△BCC₁中，∵BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$，
∴BC₁=$\sqrt{1+4-2×1×2×cos\frac{π}{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴BC²+BC₁²=CC₁²，即BC⊥BC₁，
又BC⊥AB，AB∩BC₁=B，
∴BC⊥平面ABC₁．
（2）解：由（1）知BC⊥BC₁，
又∵侧面BB₁C₁C⊥平面ABC，侧面BB₁C₁C∩平面ABC=BC，BC₁?平面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥平面ABC，
∴V${\;}_{{C}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}$S_△ABC•BC₁=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．