Question

9．函数f（x）=1-2sin²（x+$\frac{π}{8}$）+2sin（x+$\frac{π}{8}$）cos（x+$\frac{π}{8}$）．求：
（1）函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}$cos2x，由周期公式可得；
（2）解不等式2kπ≤2x≤2kπ+π可得单调递减区间；同理由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可得单调递增区间．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=1-2sin²（x+$\frac{π}{8}$）+2sin（x+$\frac{π}{8}$）cos（x+$\frac{π}{8}$）
=cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin[（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cos2x，
∴函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π
（2）由2kπ≤2x≤2kπ+π可得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，
∴函数的单调递减区间为[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z；
同理由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可得kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤kπ+π，
∴函数的单调递增区间为[kπ+$\frac{π}{2}$，kπ+π]，k∈Z．

点评 本题考查和差角的三角函数公式，涉及二倍角公式和三角函数的单调性和周期性，属基础题．