Question

7．已知点O为△ABC内一点，∠AOB=120°，OA=1，OB=2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$的值为（　　）

• A． $\frac{5}{14}$
• B． $\frac{2}{7}$
• C． $\frac{3}{14}$
• D． $\frac{3}{28}$

Answer 1

分析 由题意可得 $\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{AD}$=0，计算$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$=$\frac{\overrightarrow{OD}}{2}$•（-$\overrightarrow{AE}$）=$\frac{{|\overrightarrow{OD}|}^{2}}{4}$．△AOB中，利用余弦定理可得AB=$\sqrt{7}$，再利用面积法求得OD=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，从而求得$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$=$\frac{{|\overrightarrow{OD}|}^{2}}{4}$ 的值．

解答 解：如图：点O为△ABC内一点，∠AOB=120°，OA=1，OB=2，
过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，∴$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{AD}$=0，
则$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$=$\frac{\overrightarrow{OD}}{2}$•（-$\overrightarrow{AE}$）=-$\frac{1}{2}$•$\overrightarrow{OD}$•$\frac{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AD}}{2}$=-$\frac{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{AD}}{4}$
=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OD}}{4}$=$\frac{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OD}|•cos∠AOD}{4}$=$\frac{{|\overrightarrow{OD}|}^{2}}{4}$．
△AOB中，利用余弦定理可得AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cos120°=1+4+2=7，∴AB=$\sqrt{7}$．
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}•AB•OD$=$\frac{1}{2}$OA•OB•sin120°，可得$\frac{1}{2}•\sqrt{7}$•OD=$\frac{1}{2}•1•2•\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，∴$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$=$\frac{{|\overrightarrow{OD}|}^{2}}{4}$=$\frac{3}{28}$，
故选：D．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．