Question

5．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC上的点且DM=$\frac{1}{4}$DC，BN=$\frac{1}{3}$BC，设$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{b}$，试以$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$为基底表示$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AD}$．

Answer 1

分析 由向量加法的三角形法则用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AN}$，将$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$看做未知数解出．

解答 解：∵$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}$，∴$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，①
∵$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}$，∴$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，②
联立①②得，$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{4}{11}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{12}{11}$$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{12}{11}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{3}{11}$$\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查了平面向量加法的几何意义，使用方程组法求解是解决不能直接表示时的主要方法．