Question

18．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，其中正确的命题有（填序号）③④
①已知∠A=60°，b=4，c=2，则△ABC有两解；
②若∠A=90°，b=3，c=4，△ABC内有一点P使得$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PC}$两两夹角为120°，则${\overrightarrow{PA}}^{2}$+${\overrightarrow{PB}}^{2}$+${\overrightarrow{PC}}^{2}$=30；
③若∠A=90°，b=1，c=$\sqrt{3}$，△ABC内有一点P使得$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$夹角为90°，$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PC}$夹角为120°，则tan∠PAC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
④已知∠A=60°，b=4，设a=t，若△ABC是钝角三角形，则t的取值范围是（2$\sqrt{3}$，4）∪（4$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 ①，已知两边及夹角，△ABC只有一解；
②，分别在△PAB，△PAC，△PBC中利用余弦定理，把三式相加建立关系，再通过△PAB，△PAC，△PBC的面积之和与△ABC的面积建立关系即可得出．
③，设∠PAC=θ，在△PAB，△PAC，△PBC中，分别把每个三角形用角θ表达出来，然后再利用正弦定理即可得出．
④，如右图可得：要使△ABC是钝角三角形，可能∠B是钝角，还有可能∠C是钝角，分别找出角的临界情况即可得出范围．

解答 解：在①中，∠A=60°，b=4，c=2，已知两边及夹角，则△ABC只有一解，故①错误；
在②中，分别在△PAB，△PAC，△PBC中利用余弦定理得，3²=PA²+PC²+PA•PC，4²=PA²+PB²+PA•PB，5²=PB²+PC²+PB•PC
⇒2（PA²+PB²+PC²）=50-（PA•PB+PB•PC+PC•PA）
△PAB，△PAC，△PBC的面积之和与△ABC的面积相等可得出：$\frac{1}{2}PA•PBsin12{0}^{0}+\frac{1}{2}PA•PCsin12{0}^{0}$+$\frac{1}{2}PB•PCsin12{0}^{0}=\frac{1}{2}×3×4=6$，
⇒$PA•PB+PB•PC+PA•PC=8\sqrt{3}$⇒PA²+PB²+PC²=25-4$\sqrt{3}$．故②错
在③中，如图设∠PAC=θ，在Rt△PAB中，∠ABP=θ，PA$\sqrt{3}sinθ$，在△PAC中，由正弦定理得$\frac{AP}{sin∠ACP}=\frac{AC}{sin∠APC}$⇒$\frac{\sqrt{3}sinθ}{sin（6{0}^{0}-θ）}=\frac{1}{sin12{0}^{0}}$⇒tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
故③正确

 在④中，如右图可得：要使△ABC是钝角三角形，可能∠B是钝角，此时AC•sin60°＜BC＜AC，即2$\sqrt{3}$＜t＜4
还有可能∠C是钝角，此时BC$＞tan6{0}^{0}•AC=4\sqrt{3}$，即t$＞4\sqrt{3}$，故④正确．

故答案为：③④

点评 本题考查了余弦定理三角形面积计算公式、三角形周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．