Question

20．关于x的方程（x²-1）²-|x²-1|-k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
其中真命题的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 把已知方程变形，得k=（x²-1）²-|x²-1|，利用导数研究函数f（x）=（x²-1）²-|x²-1|的单调性，作出图象大致形状，数形结合得答案．

解答 解：由（x²-1）²-|x²-1|-k=0，得k=（x²-1）²-|x²-1|，
令f（x）=（x²-1）²-|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{4}-3{x}^{2}+2，（x≤-1或x≥1）}\\{{x}^{4}-{x}^{2}，（-1＜x＜1）}\end{array}\right.$．
当0≤x＜1时，由f（x）=x⁴-x²，得f′（x）=4x³-2x=2x（2x²-1），
当x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）有极小值为f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$-\frac{1}{4}$．
当x≥1时，由f（x）=x⁴-3x²+2，得f′（x）=4x³-6x=2x（2x²-3），
当x∈（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增
f（x）有极小值为f（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=$-\frac{3}{4}$．
又f（x）为偶函数，作出函数f（x）的图象如图：
由图可知，直线y=k与y=f（x）的图象可以是2、4、5、8个交点．
∴正确的命题是①②④3个．
故选：D．

点评 本题主要考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想，训练了利用导数研究函数的单调性与极值，属于中档题．