Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈[0，π]，若存在常数m∈R，满足：对任意的x₁∈[0，π]，都存在x₂∈[0，π]，使得

f(x1)+f(x2)

2

=m，则常数m的值是

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用两角和的正弦公式化简化简解析式，由x的范围求出x+

π

4

的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的值域，再由题意求出m的值即可．

解答： 解：由题意知，函数f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
因为x∈[0，π]，所以x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
则当x=π时，即x+

π

4

=

5π

4

时，函数f（x）取最小值是

2

×(-

2

2

)=-1，
当x=

π

4

时，即x+

π

4

=

π

2

时，函数f（x）取最大值是

2

，
所以函数f（x）的值域是[-1，

2

]，
根据题意可得，m=

2 -1

2

，
故答案为：

2 -1

2

．

点评：本题考查正弦函数的性质，两角和的正弦公式，熟练掌握公式和定义是解题的关键．