Question

8．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a为常数），曲线y=f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为-1．
（1）求a的值及函数y=f（x）的单调区间；
（2）若x₁＜ln2，x₂＞ln2，且f（x₁）=f（x₂），证明：x₁+x₂＜2ln2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的f′（x）=e^x-a．通过f′（x）=e^x-2＞0，即可求解函数f（x）在区间（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．
（2）设x＞ln2，构造函数g（x）=f（x）-f（2ln2-x），分别根据函数的单调性，以及x₁＜ln2，x₂＞ln2，且f（x₁）=f（x₂）即可证明．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，
∴a=2．
∴f（x）=e^x-2x-1，f′（x）=e^x-2．
由f'（x）=e^x-2＞0，得x＞ln2．
∴函数f（x）在区间（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
（Ⅱ）证明：设x＞ln2，
∴2ln2-x＜ln2，
∴f（2ln2-x）=e^2ln2-x-2（2ln2-x）-1=$\frac{4}{{e}^{x}}$+2x-2ln2-1，
令g（x）=f（x）-f（2ln2-x）=$\frac{4}{{e}^{x}}$-4x+4ln2，（x＞ln2），
∴g′（x）=e^x+4e^-x-4≥0，当且仅当x=ln2时，等号成立，
∴g（x）在（ln2，+∞）上单调递增，
又g（ln2）=0，
∴当x＞ln2时，g（x）=f（x）-f（2ln2-x）＞g（ln2）=0，
即f（x）＞f（2ln2-x），
∴f（x₂）＞f（2ln2-x₂），
又f（x₁）=f（x₂），
∴f（x₁）＞f（2ln2-x₂），
由于x₂＞ln2，
∴2ln2-x₂＜ln2，
∵x₁＜ln2，
由（Ⅰ）函数f（x）在区间（-∞，ln2）上单调递减，
∴x₁＜2ln2-x₂，
即x₁+x₂＜2ln2．

点评 本题考查函数的导数的应用，构造法，函数的导数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．是难题．