Question

3．已知函数f（x）=e^2x-ax+2（a∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）在曲线y=f（x）上是否存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂），使得该曲线在A，B两点处的切线相交于点P（0，t）？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）原问题等价于函数y=g（x）与y=2-t至少有2个不同的零点，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出t的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=2e^2x-a，
a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，
a＞0时，f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$，f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$，
故f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$，+∞）递增；
（2）以点A为切点的切线方程为：y-${e}^{{2x}_{1}}$+ax₁-2=（2${e}^{{2x}_{1}}$-a0（x-x₁），
∵点P（0，t）在切线上，∴t-${e}^{{2x}_{1}}$+ax₁-2=（2${e}^{{2x}_{1}}$-a）（-x₁），
整理得（2x₁-1）${e}^{{2x}_{1}}$=2-t，
令g（x）=（2x-1）e^2x，
则原问题等价于函数y=g（x）与y=2-t至少有2个不同的零点，
∵g′（x）=4xe^2x，g′（x）＞0⇒x＞0，g′（x）＜0⇒x＜0，
∴g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
且当x＜0时，g（x）＜0，
∴-1=g（0）＜2-t＜0，解得：2＜t＜3，
故t∈（2，3）．

点评 不同考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．