Question

20．设直线l过双曲线x²-y²=1的一个焦点，且与双曲线相交于A、B两点，若以AB为直径的圆与y轴相切，则|AB|的值为（　　）

• A． 1+$\sqrt{2}$
• B． 1+2$\sqrt{2}$
• C． 2+2$\sqrt{2}$
• D． 2+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用双曲线的焦半径公式求出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）到F₂的距离，根据以AB为直径的圆与y轴相切，得到x₁+x₂=|AB|=$\sqrt{2}$（x₁+x₂）-2，代入坐标后整理即可得到线段AB的长．

解答 解：双曲线方程为x²-y²=1，F₂（$\sqrt{2}$，0），e=$\sqrt{2}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由双曲线的焦半径公式得：|AF₂|=ex₁-a=$\sqrt{2}$x₁-1，|BF₂|=ex₂-a=$\sqrt{2}$x₂-1，
∵以AB为直径的圆与y轴相切，∴x₁+x₂=|AB|=$\sqrt{2}$（x₁+x₂）-2
∴|AB|=x₁+x₂=$\frac{2}{\sqrt{2}-1}$=2+2$\sqrt{2}$
故选：C．

点评 本题考查双曲线的性质，考查双曲线的焦半径公式，考查学生的计算能力，属于中档题．