Question

13．使得函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{-{x}^{2}+x+2}}$为增函数的区间是$[\frac{1}{2}，2]$．

Answer 1

分析 首先确定函数的定义域，然后结合复合函数同增异减的原则考查所给函数的单调性即可．

解答 解：函数有意义，则：-x²+x+2≥0，解得：-1≤x≤2，
函数$y=\sqrt{-{x}^{2}+x+2}$ 的单调递增区间为 $[-1，\frac{1}{2}]$，单调递减区间为 $[\frac{1}{2}，2]$，
函数$y={（\frac{1}{2}）}^{x}$ 在定义域内单调递减，
结合复合函数同增异减的原则可得函数$y={（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{-{x}^{2}+x+2}}$ 的单调增区间为 $[\frac{1}{2}，2]$．
故答案为：$[\frac{1}{2}，2]$．

点评 本题考查了复合函数的单调性，函数的定义域的求解，二次函数、幂函数、指数函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．