Question

已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

 

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：本题是一个至少性问题，可以利用反证法证明，其步骤为：①否定命题的结论，即假设“任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点”成立→②根据函数的性质可以得到三个函数对应方程的△≤0均成立→③利用不等式的性质，同向不等式求和→④得到的式子与实数的性质相矛盾→⑤故假设不成立，原结论成立．

【解析】
假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x有两个不同的交点

（即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点），

由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b得△1=（2b）2﹣4ac≤0，

△2=（2c）2﹣4ab≤0，

△3=（2a）2﹣4bc≤0．

同向不等式求和得，

4b2+4c2+4a2﹣4ac﹣4ab﹣4bc≤0，

∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac≤0，

∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≤0，

∴a=b=c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，

因此假设不成立，从而命题得证．