Question

18．已知函数f₀（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），…，其中n∈N，则f₁₉（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意求得f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），…从中找出规律（周期），从而使问题解决．

解答 解：∵f₀（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，
f₃（x）=f₂′（x）=sinx，f₄（x）=f₃′（x）=cosx，…，
∴f_n+4（x）=f_n（x），
∴f_n（x）的下标是以4为周期的函数，
∴f₁₉（x）=f₁₆₊₃（x）=f₃（x）=sinx，
故f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查导数的运算与函数的周期性，得到f_n+4（x）=f_n（x）是关键，属于中档题．