Question

已知函数f（x）=

ax-1

ax+1

(a＞1)
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明f（x）是R上的增函数；
（3）求函数f（x）在[0，1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据函数的定义域为x∈R，且f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函数．
（2）设x₁＜x₂，根据f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2ax1-2ax2

(ax1+1)(ax2+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），可得f（x）是R上的增函数．
（3）根据函数f（x）在[0，1]上是增函数，求得函数f（x）在[0，1]上的值域．

解答：解：（1）∵定义域为x∈R，且f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，∴f（x）是奇函数．
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，∵f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2ax1-2ax2

(ax1+1)(ax2+1)

，
∵a＞1，∴ax1＜ax2，且ax1+1＞0，ax2+1＞0，∴

2ax1-2ax2

(ax1+1)(ax2+1)

＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数．
（3）∵函数f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，∴函数f（x）在[0，1]上也是增函数．
∴f（x）_min=f（0）=0，f（x）_max=f（1）=

a-1

a+1

，
∴函数f（x）在[0，1]上的值域为[0，

a-1

a+1

]．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．