Question

【题目】过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，作AC，BD垂直抛物线的准线l于C，D，其中O为坐标原点，则下列结论正确的是 ． （填序号）
① ；
②存在λ∈R，使得 成立；
③ =0；
④准线l上任意一点M，都使得 ＞0．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：对于①，由 ，可得①正确；
对于②，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），可得C（﹣ ，y1），D（﹣ ，y2），
又kOA= = ，kAD= ，设直线AB方程为x=my+ ．
代入抛物线的方程，可得y2﹣2pmy﹣p2=0，
可得y1y2=﹣p2 ， 即有y1（y1﹣y2）=y12﹣y1y2=2px1+p2 ，
则kOA=kAD ， 即有存在λ∈R，使得 成立，则②正确；
对于③， =（﹣p，y1）（﹣p，y2）=y1y2+p2=0，可得③正确；
对于④，由抛物线的定义可得|AB|=|AC|+|BD|，
可得以AB为直径的圆的半径与梯形ACDB的中位线长相等，
即有该圆与CD相切，设切点为M，即有AM⊥BM，则 =0，
则④不正确．
所以答案是：①②③．